Something like an Oasis in This Dry World

ベクトルのスカラー三重積で，おもしろい書き方があるのを知ったのでここに書いておこう．まずベクトルの外積$\mathbf{B} \times \mathbf{C}$の定義として行列式を用いた

$$\mathbf{B} \times \mathbf{C} = \mathrm{det} \left| \begin{matrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right|$$

という書き方がある．ベクトル$\mathbf{A}$を

$$\mathbf{A} = A_x \hat{\mathbf{x}} + A_y \hat{\mathbf{y}} + A_z \hat{\mathbf{z}}$$

と書くと，スカラー三重積$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$は，

$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (A_x \hat{\mathbf{x}} + A_y \hat{\mathbf{y}} + A_z \hat{\mathbf{z}}) \cdot \mathrm{det} \left| \begin{matrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right|=\mathrm{det} \left| \begin{matrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right|$$

このように書くと，行の入れ替え1回でマイナスが付くこともよく分かるし，何と言っても計算が楽になる．

エネルギー平衡方程式というのがある．

$$\frac{\mathrm{d} u(\mathbf{r},t)}{\mathrm{d} t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S}(\mathbf{r}, t) = - \varphi(\mathbf{r}, t) \tag{1}$$

$u(\mathbf{r},t)$は電磁場のエネルギー密度で，

$$u(\mathbf{r},t) = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 (\mathbf{r}, t) + \frac{1}{2 \mu_0} B^2 (\mathbf{r}, t)$$

$\mathbf{S}(\mathbf{r}, t)$はエネルギー流束密度で，

$$\mathbf{S} (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)$$

$\varphi(\mathbf{r}, t)$は一般化されたジュール熱（単位体積当たり）

$$\varphi(\mathbf{r}, t)=\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$$

英語では energy balance equation である．個人的には日本語の「平衡」は物理では equilibrium になると早とちりしていた．つり合いという意味でも平衡と言うのだった．

この式は，連続の方程式

$$\frac{\mathrm{d} u(\mathbf{r},t)}{\mathrm{d} t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S}(\mathbf{r}, t) = 0 \tag{2}$$

の拡張になっている．これは電磁場のエネルギー密度が保存するという式．電荷が保存されるという電荷密度に対する連続の方程式

$$\frac{\mathrm{d} \rho(\mathbf{r},t)}{\mathrm{d} t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = 0$$

を思い出すとイメージしやすい．電荷は絶対量として減ったり増えたりせず，ただどこかに移動するのみであるという意味．その移動する量が電流密度であるということ．
話を戻してエネルギー密度に対する連続の方程式と，始めのエネルギー平衡方程式とを見比べると，ジュール熱が発生しないというのだから，エネルギーは熱に変わらずに保存されるということ．逆に言えばジュール熱が発生する場合にも適応できるものがエネルギー平衡方程式ということになる．

エネルギー流束密度はポインティングベクトルとも呼ばれる．電荷の連続の方程式では電流密度と対応している．つまりポインティングベクトルは電磁場のエネルギーの流れを表している．ポインティングベクトルには物理的にしっかりとした意味があるのである．

古典力学，統計力学や電磁気学，量子力学などでは近似するためにテイラー展開を使うことが間々ある．どうも混乱してしまう学生が少なからずいる模様．何に気を付けておくべきか，間違えやすいところは何処か分かっていれば，むやみに不安がる必要もなくなると思う．

そこで近似するときに気を付けておくべきポイントを２つ紹介しておこう．

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日本語で「円筒」と言うと，普通は中身が空洞になっているものだろう．きっと日本人ならそう思う．だって「筒」自体には中空であることが定義に含まれているのだし．

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極値をとることは分かるけれど、それが最大なのか最小なのか。例えば統計力学において、エントロピーが最大になるような確率分布について。統計力学の教科書は、だいたいが極値をとる分布を求めているだけだ。その点で確かに最大になっているかを確かめていない。これでは不十分ではないのか。

気になる場合は、実際に最大になっているかを確かめればよい。それが一番手っ取り早い確認方法だ。だがわざわざ確認しなくても物理的に考えれば最大となっていることは分かるので、だいたいの教科書では極値をとる分布を求めているだけにとどめている。というのも、エントロピーがその分布で最小になるなんてことはあり得ない（物理的におかしい）。エントロピーは必ずゼロ以上で、つまり最低はゼロだから。そんなわけで、不十分というわけではないだろう⁽¹

あとから調べたら『物理のための応用数学』にも同じことが書いてあった。

1. そういう理由で教科書は最大になっているかをわざわざ確かめていないのだと理解しているなら [↩]