古典力学，統計力学や電磁気学，量子力学などでは近似するためにテイラー展開を使うことが間々ある．どうも混乱してしまう学生が少なからずいる模様．何に気を付けておくべきか，間違えやすいところは何処か分かっていれば，むやみに不安がる必要もなくなると思う．
そこで近似するときに気を付けておくべきポイントを２つ紹介しておこう．
1. 何が小さい量なのか？ ¶
「原点近傍の電気双極子（ ( \pm q ) の電荷が ( d ) だけ離れているとする）のつくる電場は十分離れた位置 ( r ) では」などと言って ( r \gg d ) とする．このとき，何が微少量かと言えば，( d / r \ll 1 ) から分かるように ( d / r ) なのである．( d )が微小量だと言うのは間違いであることに注意してほしい．( d )自体はどんな大きさでも良いのである．決して小さくない値，たとえば( d = 1 [{\rm m}] )であっても，( r = 10^{10} [{\rm m}] )なら文句無く( d / r \ll 1 )なのである．何かに対して小さいとか大きいとか言えても，それ自体には大きいも小さいもないということ．また，( d \ll 1 )という書き方も気持ち悪いと感じられるようになってもらいたい．( d ) は距離の次元を持つのに対して，( 1 )は単なる数でしかない．単位がないのである．これでは，その( 1 ) が1メートルなのか，1キロメートルなのか，はたまた1ナノメートルなのか定まらない．( d / r \ll 1 )と表記すれば，それは( d )と( r)とが比べられていて，同じ次元の大小関係になっているのである．
以上はまだ分かりやすい例で，少々込み入ったものに，統計力学ではお馴染み(？)の ( \exp(- \epsilon / k_B T) ) のような形をしたものがある．高温のときの ( k_B T \gg \epsilon ) と低温のとき ( k_B T \ll \epsilon ) とで ( 1 ) に近い量なのか微少量であるかが変わってくる．
もう少し詳しく説明すると，高温では( \epsilon / k_B T \ll 1 ) となる．つまり，微少量は ( \epsilon / k_B T ) なのであって，( \exp(- \epsilon / k_B T) ) は微少量ではなくて ( 1 ) に近い値をとる．逆に低温のときは( \epsilon / k_B T \gg 1 ) から ( \exp(- \epsilon / k_B T) ) は微少量となる．
2. どの近似式を用いるか？どのオーダーまで残すか？ ¶
ほとんど**1.**と対になっているようなものだが，どれが微少量かハッキリとしたとき，適切な近似を用いなければならない．特に紛らわしい項として ( \log{ 1 - \exp( - \epsilon / k_B T) } )を挙げておこう．何が微少量で，どれを展開すべきか，と考えよう．
繰り返しになるが，高温では( \epsilon / k_B T \ll 1 )，つまり，微少量は ( \epsilon / k_B T ) だった．よって( \exp(- \epsilon / k_B T) ) は微少量ではなくて ( 1 ) に近い値をとる．( \exp(- \epsilon / k_B T) \simeq 1 - \epsilon / k_B T )から，
[ \log\left{ 1 - \exp\left( - \frac{\epsilon }{ k_B T}\right) \right} \simeq \log \left( \frac{\epsilon}{k_B T} \right)]
低温のときは( \epsilon / k_B T \gg 1 ) から ( \exp(- \epsilon / k_B T) ) は微少量となり，( \log(1-x) \simeq -x )から
[ \log\left{ 1 - \exp\left( - \frac{\epsilon }{ k_B T} \right) \right} \simeq - \exp\left( - \frac{\epsilon }{ k_B T} \right) ]
となるのである．
学部で習う電磁気学や統計力学では，打ち消し合わない限りだいたいが最低次までの展開でよく，稀に高次の項を求めなければならない場合がある ((より詳細な議論をするためには，高次の項が当然必要になってくる．学部のときにもそういうものを議論する問題に当たることがある．統計力学の低温展開の4次の項を求めるとか．))．